применим меиод математической индукции

при n=1 имеем

1/1*2=1-1/2 тождество выполняется

Пусть тождество верно при n=m

1/1*2+1/2*3+...+1/m(m+1)=1-1/(m+1)

покажем что при этом оно выполнятся при n=m+1

1/1*2+1/2*3+...+1/m(m+1)+1/(m+1)(m+2)=

первые m слагаемых равны 1-1/(m+1)

=1-1/(m+1)+1/(m+1)(m+2)=1-(m+2-1)/(m+1)(m+2)=1-1/(m+2)

т.о. мы показали что тождество выполнятся. при n=m+1

теорема доказана