За сутки стрелки часов перпендикулярны друг другу ровно 44 раза:
После 00:00 минутная стрелка поворачивается на угол (90+a)°, а часовая на угол а°.
При этом часовая стрелка движется в 12 раз медленнее минутной.
90+a = 12a
90 = 11a
a = 90/11° = (8 2/11)°
За 1 час часовая стрелка поворачивается на 360/12 = 30°.
Значит, первый раз стрелки станут перпендикулярны друг другу через
90/11 : 30  = 3/11 часа = 60*3/11 мин = 180/11 мин = 16 4/11 мин =
= 16 мин 240/11 сек = 16 мин 21 9/11 сек
Второй раз наступит, когда угол будет равен 270°. Тогда часовая стрелка повернется на угол b°, а минутная на (270+b)°
270+b= 12b
270 = 11b
b = 270/11° = (24 6/11)°
Это случится в момент 270/11 : 30 = 9/11 часа = 540/11 мин = 49 1/11 мин
= 49 мин 60/11 сек = 49 мин 5 5/11 сек.
Дальше это положение будет повторяться по 2 раза в час.
Первое положение, когда часовая стрелка слева от минутной, 90°, повторяется через 12/11 часа = 1 час 1/11 = 1 час 60/11 мин =
= 1 час 5 5/11 мин = 1 час 5 мин 300/11 сек = 1 час 5 мин 27 3/11 сек.
Второе положение, когда часовая стрелка справа от минутной, 270°, тоже повторяется через 1 час 5 мин 27 3/11 сек.
Всего 22 раза за 12 часов, или 44 раза за сутки.