Решение во вложении--------------

Делим неравенство на 9ˣ ≠ 0. Получаем неравенство:

2t² >t+3, где   t= (2/3)ˣ;  t > 0    при любом х.

2t² - t - 3>0
D=(-1)²-4·2·(-3)=25=5²
t=(1+5)/4=3/2     или      t=(1-5)/4=-1

___+___(-1)_________(3/2)___+____

Учитывая, что  t > 0,  получаем ответ
t >3/2.

Возвращаясь к переменной х
(2/3)ˣ > (3/2);
(2/3)ˣ > (2/3)⁻¹
x<-1
x∈(-∞;-1)
На  интервале (-∞;-1)нет   наибольшего х.

Если в условии неравенство имеет знак  ≥, то  x∈(-∞;-1]
Тогда наибольшее х=-1.
 
x=-2    наибольшее целое х, удоветворяющее неравенству.