У = x² +9x = (x+9/2) -81/4 .
График этой функции парабола , вершина в точке B( -9/2 ; -81/4) ;.ветви направлены вверх. Точки A(-9 ;0) и  C(0 ;0)  характерные точки графики функции (пересечения  с осью абсцисс:  y=0⇒ x₁= - 9  и  x₂= 0  корни x² +9x=0 ).
График функции у = - |x² +9x|    || y ≤0  ||  получается  из графики функции у = x² +9x . 
Участок  A_B_C  (где у 0  (левее от точки A и правее   от точки С )_симметрично относительно оси абсцисс (ось ox).

Прямая  y =a   с графиком функции  у = - |x² +9x|  имеет 2 , 3  или 4 общие точки , в зависимости от значения постоянной a .
a =0 :
две   ( это точки  A и C).
---------------
a = - 81/4 :
три _( прямая  проходит через  B( -9/2 ; -.81/4) ) .
---------------
 - 81/4 четыре .

ответ:  a∈ [ - 81/4 ; 0 ) .