Подводим все под общий знаменатель (x^4 - y^4)

Числитель: y*(x+y)^2 + x*(x^2 - y^2) - 1*(x+y)*(x^2 + y^2)

Знаменатель: x^4 - y^4

Но теперь можно от знаменателя избавиться, и получится:

y*(x+y)^2 + x*(x^2 - y^2) - 1*(x+y)*(x^2 + y^2) = 0

Раскрываем скобки.

y*(x^2 + 2xy + y^2) + x^3 - xy^2 - 1*(x^3 + xy^2 + x^2y + y^3) = 0

x^2y + 2xy^2 + y^3 + x^3 - xy^2 - x^3 - xy^2 - x^2y - y^3 = 0

0=0

Тождество доказано.