Найдем производную
у` = 0+4cosx - 2 = 4cosx-2 и приравняем е к нулю
4cosx-2=0
4cosx=2
cosx=2 : 4
cosx = 0.5
x= π/3 + 2πn
x = -π/3 + 2πk, k,n∈Z
В промежуток [0; π] входит только х = π/3. Проверим, является ли эта точка точкой минимума.
 ______  _______
      +   π/3   -
точка π/3 является точкой максимума, значит, минимальные значения функция достигает на концах промежутка. Проверим:
у(0) = 1 + 4*0 - 2*0 = 1
у(π) = 1 + 4*0 - 2*π = 1 - 2π
у(0) > y(π) ⇒ наименьшее значение функция принимает в точке х = π
Наименьшее значение равно у(π) = 1-2
вроде так

Так как  (1+4sin x)^2= 1+8 sin x + 16sin^2 x. 
1)- 1 ≤  sin x ≤ 1;
 - 8≤ 8 sin x ≤ 8;
-7 ≤ 8 sin x + 1≤ 9;
 2)  0 ≤ sin^2 x ≤ 1.
       0≤ 16 sin^2 x ≤ 16 ⇒
(1+4sin x)^2 = (8 sin x +1) + sin^2 x ;
 0 ≤ (1+4sin x)^2 ≤ 16;
E(y)= [0; 25]